Шпоры по вышке - реферат

1. Матрицы. Линейные операции над ними и их характеристики.

Матрицей именуется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк схожей длины.

Матрицы равны меж собой, если равны все их надлежащие элементы.

Матрица, у которой число строк и столбцов равно – именуется квадратной .

Матрица, все элементы которой, не считая частей главной диагонали равны нулю Шпоры по вышке - реферат, именуется диагональной .

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, именуется единичной . Обозначается буковкой Е.

Матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, именуется треугольной .

Матрица, у которой все элементы равны нулю, именуется нулевой .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

2. Умножение матриц. Транспонирование. Характеристики.

Операция умножения вероятна, если количество столбцов первой Шпоры по вышке - реферат матрицы равно количеству строк другой матрицы.

где

1.

2.

3.

4.

Матрица, приобретенная подменой каждой ее строчки столбцом с этим же номером, именуется матрицей транспонированной , к данной.

1.

2.

3. Определители матриц. Характеристики определителей. Миноры и алгебраические дополнения.

1.

2.

3.


Для нахождения определителя более высочайшего порядка, матрицу приводят к треугольному виду и считают произведение частей на главной диагонали Шпоры по вышке - реферат.

Характеристики:

1. Определитель не поменяется, если его строчки поменять столбцами, и напротив.

2. При перестановке 2-ух параллельных рядов определитель меняет символ.

3. Определитель, имеющий два схожих либо пропорциональных ряда, равен нулю.

4. Общий множитель частей можно вынести за символ определителя.

5. Если элементы какого-нибудь ряда представляют собой сумму частей, то определитель может Шпоры по вышке - реферат быть разложен на сумму 2-ух соответственных определителей.

6. Определитель не поменяется, если прибавим ко всем элементам ряда матрицы соответственных частей параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.

7. Определитель равен сумме частей, умноженных на соответственное им алгебраическое дополнение.

8. Сумма произведения частей 1-го ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.

4. Разложение Шпоры по вышке - реферат определителя по элементам ряда. Аксиома замещения.

Определитель равен сумме произведений частей на соответственное им алгебраическое дополнение.

Берем любые Nчисел и умножим на алгебраическое дополнение какой-нибудь строчки.

5. Оборотная матрица. Достаточное условие существования оборотной матрицы.

1.

2.

3.

Для того чтоб матрица имела оборотную довольно того, чтоб она была невырождена.

6. Простые преобразования Шпоры по вышке - реферат матриц. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.

1. Перестановка местами 2 параллельных рядов матрицы.

2. Умножение частей ряда матрицы на число хорошее от нуля, хорошее от нуля.

3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответственных частей параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.

Из частей стоящих на скрещении выделенных строк и столбцов Шпоры по вышке - реферат, составим определитель k-ого порядка. Больший из порядков таких миноров именуется рангом матрицы.

7. Решение линейных уравнений. Решение невырожденых систем.

Способ Гаусса.

Поначалу следует привести систему к треугольному (ступенчатому) виду, а потом ступенчато решить.

Формула Крамера.

Подсчитать определитель матрицы А.

Потом матрицей B поменять 1-ый столбец матрицы А, подсчитать определитель и поделить Шпоры по вышке - реферат его на detA, так мы получим x1 . То же самое сделать со 2-ым и 3-им столбцом.

8. Решение случайных систем. Аксиома Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совместна и тогда только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Отыскать какой-нибудь базовый минор порядка r. Взять Шпоры по вышке - реферат r уравнений, из которых составлен базовый минор. Неведомые, коэффициенты которых входят в базовый минор, именуются главными и остаются слева, а другие именуются свободными и переносятся в правую часть уравнения. Обнаружив главные через свободные, получим общее решение системы.

9. Однородные система уравнений. Базовая система решений.

Система однородных уравнений всегда имеет нулевое Шпоры по вышке - реферат решение. Если ранг матрицы меньше числа неведомых, то система имеет бессчетное огромное количество решений. Для того, чтоб система имела ненулевые решения, нужно, чтоб ее определитель был равен нулю.

10. Линейные места. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного места.

Разглядим непустое огромное количество частей, которые будем обозначать через x Шпоры по вышке - реферат, y, z, … и огромное количество реальных чисел. На этом огромном количестве введем две операции (сложение и умножение). Пусть эти две операции подчиняются теоремам:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

V; x, y, z, … V

Огромное количество V с 2-мя операциями, удовлетворяющее теоремам именуется линейным местом.

Элементы линейного места именуются векторами, обозначаются , , . Существует единственный нулевой элемент, для Шпоры по вышке - реферат каждого элемента существует единственный обратный.

Линейная зависимость и независимость системы векторов. Пусть имеется n векторов.

Составим линейную комбинацию:

, если система n векторов – линейно-зависима.

Если посреди n векторов какие-то kлинейно-зависимы, то вся система векторов является линейно-зависимой.

Если система n векторов линейно-независима, то Шпоры по вышке - реферат неважно какая часть из этих векторов будет тоже линейно-независимой.

Размерность и базис линейного места. Пусть система n векторов линейно-независима, а неважно какая система n+1 векторов – линейно-зависима, тогда число n именуют размерностью места. dimV=n

Система этих n линейно-независимых векторов именуется базисом линейного места. Разглядим систему n+1 векторов.

Такое представление Шпоры по вышке - реферат именуется разложение по базису, а числа именуют координатами вектора.

Разложение хоть какого вектора в избранном базисе - единственно.

11. Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора при переходе к новенькому базису.

n – мерное место.

Vn – базис, состоящий из n векторов.

В пространстве есть базисы

Введем матрицу Шпоры по вышке - реферат перехода от к .

12. Евклидово место. Длина вектора. Угол меж векторами.

Разглядим линейное место V, в каком уже есть 2 операции (сложение и умножение). В этом пространстве введем еще одну операцию. Она будет удовлетворять последующим теоремам.

1.

2.

3.

4.

Обозначенная операция именуется скалярным произведением векторов. N – мерное линейное место с введенной операцией скалярного произведения Шпоры по вышке - реферат, именуется Евклидовым местом .

Длиной вектора именуется арифметическое значение квадратного корня и скалярного квадрата.

Длина вектора удовлетворяет последующим условиям:

1. , если

2.

3. - неравенство Коши-Буня

4. - неравенство треугольника

13.Скалярное произведение векторов и его характеристики.

Скалярным произведением 2-ух ненулевых векторов именуется число, равное произведению этих векторов на косинус угла меж ними.

1.

2.

3.

4.

14. Векторное произведение векторов и его характеристики.

Три Шпоры по вышке - реферат некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую .

Векторным произведением вектора на вектор именуется вектор , который:

1. Перпендикулярен векторам и .

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на векторах и .

, где

3. Векторы , и Шпоры по вышке - реферат образуют правую тройку векторов.

Характеристики:

1.

2.

3.

4.

15. Смешанное произведение векторов и его характеристики.

Смешанное произведение записывают в виде: .

Смысл смешенного произведения: поначалу два вектора векторно перемножают, а потом приобретенный скалярно перемножают с третьим вектором. Смешанное произведение представляет собой число – число. Итог смешанного произведения – объем параллелепипеда, образованного векторами.

Характеристики.

1. Смешанное произведение Шпоры по вышке - реферат не изменяется при повторяющейся перестановке сомножителей:

2. Смешанное произведение не поменяется при перемене местами векторного и скалярного произведения.

3. Смешанное произведение меняет символ при перемене мест всех 2-ух векторов-сомножителей.

4. Смешанное произведение 3-х ненулевых векторов равно нулю и тогда только тогда, когда они компланарны.

Три вектора именуются компланарными, если итог смешанного произведения Шпоры по вышке - реферат равен нулю.

16. Линейные преобразования места. Матрица линейного преобразования. Связь меж координатами вида и прообраза.

Разглядим линейное место V, в каком каждому элементу x, в силу некого закона поставлен элемент этого же места.

- прототип

- образ

Каждому прототипу соответствует единственный образ.

Каждый образ имеет единственный прототип.

Линейное преобразование места, при котором существует взаимнооднозначные Шпоры по вышке - реферат соответствия.

Блективное преобразование – именуется линейным, если производятся 2 условия.

1.

2.

Разглядим n-мерное линейное место

Для того, чтоб задать линейные преобразования в этом пространстве довольно задать это преобразование для базовых векторов.

Матрица линейного преобразования.

Пусть F – линейное преобразование линейного места, переводящая базис в базис . Т.к. - базис, то верны соотношения

А – является Шпоры по вышке - реферат матрицей линейного преобразования либо линейным оператором места.

Связь меж координатами вида и прообраза.

В базисе вектор имеет координаты

Линейное преобразование – матрица линейного оператора.

Каждому линейному преобразованию соответствует 1 матрица линейного оператора и напротив.

Если имеется квадратная матрица задано линейное преобразование места.

17. Связь меж координатами 1-го и такого же линейного оператора в различных базисах.

Т Шпоры по вышке - реферат – матрица перехода от e к e’ , то:

Если линейный оператор имеет в базисе невырожденную матрицу Т, матрица этого оператора в любом другом базисе не будет вырождена.

18. Характеристическое уравнение линейного оператора. Собственные векторы линейного оператора и их характеристики.

Если в базисе линейный оператор имеет матрицу А, а Шпоры по вышке - реферат в базисе ( ) оператор имеет матрицу В

λ – случайное число ≠0

Е – единичная матрица

Если характеристически многочлен линейного оператора прировнять к 0, получим характеристическое уравнение линейного оператора.

Собственные векторы линейного оператора

Ненулевой вектор именуется своим вектором линейного оператора, если оператор к , получим тот же , умноженный на некое к.

к – собственное число оператора А=

Каждый Шпоры по вышке - реферат свой вектор имеет единственное собственное число.

19. Ровная в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол меж прямыми.

Векторное уравнение прямой.

Положение прямой можно задать по точке и направляющему вектору.

Пусть ровная Lзадана ее точкой M0 (x0 ;y0 ;z0 ) и направляющим вектором S(m;n;p). Возьмем на прямой Lточку M(x;y Шпоры по вышке - реферат;z). Обозначим радиус-векторы точек Mи M0 через rи r0 .

Тогда уравнение прямой запишется в виде:

где t – скалярный множитель (параметр).

Параметрические уравнения прямой.

Канонические уравнения прямой.

S(m;n;p) – направляющий вектор прямой L. M0 (x0 ;y0 ;z0 ) – точка на прямой. соединяет M0 с случайной точкой М.

Уравнение прямой Шпоры по вышке - реферат в пространстве, проходящей через две точки.

M1 (x1 ;y1 ;z1 ) M2 (x2 ;y2 ;z2 )

В качестве направляющего вектора можно задать вектор

Как следует:

, тогда

Общее уравнение прямой.

Уравнение прямой как линию скрещения 2-ух плоскостей. Разглядим:

Т.к. ровная перпендикулярна векторам n1 и n2 то направляющий вектор запишется как Шпоры по вышке - реферат векторное произведение:

Угол меж прямыми.

;

20. Плоскость в пространстве. Виды уравнения плоскостей. Угол меж плоскостями.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору.

Пусть плоскость задана точкой M0 (x0 ;y0 ;z0 ) и вектором , перпендикулярной этой плоскости.

Возьмем произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор . При любом Шпоры по вышке - реферат расположении точки М на плоскости Q , потому .

Общее уравнение плоскости.

·Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0)

·Если С=0 то вектор . Как следует, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox.

·Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz. Аналогично при Шпоры по вышке - реферат A=D=0 и B=D=0.

·Если А=В=0 то уравнение воспримет вид плоскость параллельна плоскости Oxy.

·Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение плоскости Oxy.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

К (х1 ;у1 ) М (х2 ;у2 ) N (x3 ;y3 )

Возьмем на плоскости точку P (x;y Шпоры по вышке - реферат;z).

Составим векторы:

Эти векторы лежат в одной плоскости, как следует они компланарны:

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки:

; ;

Обычное уравнение плоскости.

21. Угол меж прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости.

Ровная L:

Пусть φ – угол меж плоскостью и прямой.

Тогда θ – угол Шпоры по вышке - реферат меж и .

Найдем , если

, т.к.

Расстояние от точки до плоскости.

Дано:

M0 (x0 ;y0 ;z0 )

Расстояние dот точки М0 до плоскости ∆ равно модулю проекции вектора (где М1 (x1 ;y1 ;z­1 ) - случайная точка плоскости) на направление обычного вектора

!!!Если плоскость задана уравнением:

то расстояние до плоскости находится Шпоры по вышке - реферат по формуле:

22. Ровная на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол меж 2-мя прямыми.

Уравнение с угловым коэффициентом.

k= tgα – угловой коэффициент.

Если b=0 то ровная проходит через начало координат. Уравнение воспримет вид

Если α=0, то k = tgα = 0. То ровная пройдет параллельно оси ох.

Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В данном случае Шпоры по вышке - реферат уравнение воспримет вид и пройдет параллельно оси оу.

Общее уравнение прямой.

A, B, C – произвольные числа, при этом А и В не равны нулю сразу.

·Если В=0, то уравнение имеет вид либо . Это уравнение прямой, параллельной оси оу. и проходящей через точку

·Если В≠0, то получаем уравнение с угловым Шпоры по вышке - реферат коэффициентом .

·Если А=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение прямой, параллельной оси ох.

·Если С=0, то уравнение проходит через т. О (0;0).

Уравнение прямой, проходящей через точку, в данном направлении.

т М (х0 ;у0 ).

Уравнение прямой записывается в виде .

Подставим в это уравнение точку М

Решим систему:

Уравнение Шпоры по вышке - реферат прямой, проходящей через 2 точки.

К (х1 ;у1 ) М (х2 ;у2 )

Уравнение прямой в отрезках.

К (а;0); М (0;b)

Подставим точки в уравнение прямой:

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

М0 (х0 ;у0 ).

Возьмем произвольную точку М (х;у).

Т.к. , то

Обычное уравнение прямой.

Уравнение прямой можно Шпоры по вышке - реферат записать в виде:

Т.к. ; , то:

Угол меж прямыми.

Дано: прямые L1 и L2 с угловыми коэффициентами

Требуется отыскать угол меж прямыми:

23. Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения.

Эллипсом именуется

геометрическое место всех

точек плоскости, сумма

расстояний от которых до

до фокусов есть величина

неизменная, большая, чем расстояние меж фокусами.

Пусть М (х;у) – случайная Шпоры по вышке - реферат точка эллипса.

Т.к. MF1 + MF2 = 2a

Т.к.

То получаем

Либо

24. Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения.

Гиперболой именуется огромное количество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина неизменная.

Пусть M(x;y) – случайная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF Шпоры по вышке - реферат1 – MF2 |=2a либо MF1 – MF2 =±2a,

25. Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения.

Парабола – огромное количество всех точек плоскости, любая из которых идиентично удалена от фокуса, и директрисы. Расстояние меж фокусом и директрисой именуется параметром параболы и обозначается через р>0.

Пусть M(x;y) – случайная

точка Mс F. Проведем отрезок

MN перпендикулярно

директрисе. Согласно

определению MF Шпоры по вышке - реферат=MN.

26. Поверхности вращения.

Поверхность, образованная вращением некой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, именуется поверхностью вращения. Пусть некая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнение этой кривой запишутся в виде:

Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг оси Oz.

Возьмем на поверхности точку

M (x;y;z Шпоры по вышке - реферат). Проведем через точку

М плоскость, перпендикулярную

оси oz, и обозначим точки

скрещения ее с осью oz

и кривой Lсоответственно O1 и N.

Обозначим координаты точки

N (0;y1 ;z1 ). Отрезки O1 Mи O1 N

являются радиусами одной и той же окружности. Потому O1 M= O1 N. Но O1 M = (x2 +y2 )0.5 , O1 N Шпоры по вышке - реферат=|y1 |.

Как следует, |y1 |=(x2 +y2 )0.5 либо y1 =±(x2 +y2 )0.5 . Не считая того, разумеется, z1 =z.

Как следует – разыскиваемое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты хоть какой точка М этой поверхности и не удовлетворяет координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.

27. Поверхности 2-го порядка. Эллипсоид, Гиперболоид.

Эллипсоид.

Разглядим сечение поверхности с плоскостями Шпоры по вышке - реферат, параллельными xOy. Уравнения таких плоскостей z=h, где h – хоть какое число. Линия, получаемая в сечении, определяется 2-мя уравнениями:

Если |h|>c, c>0, то точек скрещения поверхности с плоскостями z=h нет.

Если |h|=c, т.е. h=±c, то . Линия скрещения вырождается в две точки (0;0;с) и (0;0;-с Шпоры по вышке - реферат). Плоскости z=c и z=–cкасаются поверхности.

Если |h|

Линия скрещения есть эллипс с полуосями.

Эллипсоид – замкнутая округлая поверхность, где a,b,с – полуоси. Если они все различны, то эллипсоид именуется трехосным . Если какие-либо две полуоси равны, то тело именуется эллипсоид Шпоры по вышке - реферат вращения, если a=b=c, то тело именуется сферой x2 +y2 +z2 =R2

Однополостный гиперболоид.

Пересекая поверхность плоскостью z=h, получим линию скрещения, уравнения которой имеют вид.

Полуоси добиваются собственного меньшего значения при h=0, a1 =a, b1 =b. При возрастании |h| полуоси будут возрастать.

Если пересекать Шпоры по вышке - реферат поверхность плоскостями x=h либо y=h, то в сечении получим гиперболы. Найдем линию скрещения поверхности с плоскостью Oyx, уравнение которой x=0. Эта линия скрещения описывается уравнениями:

Поверхность имеет форму нескончаемо расширяющейся трубки и именуется однополостным гиперболоидом .

Двуполостный гиперболоид.

Если поверхность пересечь плоскостями z=h, то линия скрещение уравнениями

Если |h Шпоры по вышке - реферат|

Если |h|=c, то плоскости h=±c касаются данной поверхности соответственно в точках (0;0;с) и (0;0;-с).

Если |h|>c, то уравнения можно переписать в виде:

Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого растут с ростом |h|.

У обеих гипербол реальной осью является ось oz. Способ Шпоры по вышке - реферат сечения позволяет изобразить поверхность, состоящую из 2-ух полостей, имеющих форму 2-ух неограниченных чаш. Поверхность именуется двуполостным гиперболоидом .

28. Поверхности 2-го порядка. Параболоиды.

Эллиптический.

При скрещении поверхности координатами плоскостями Oxzи Oyzполучается соответственно параболы и . Таким макаром, поверхность, определяемая уравнением, имеет вид выпуклой, нескончаемо расширяющейся чаши.

Гиперболический.

Рассечем поверхность плоскостями z=h Шпоры по вышке - реферат. Получим кривую

которая при всех h≠0 является гиперболой. При h>0 ее действительные оси параллельны оси Ox, при h<0 – параллельные оси Oy. При h=0 линия скрещения распадается на пару пересекающихся прямых:

При скрещении поверхности плоскостями, параллельности плоскости Oxz (y=h), будут получаться параболы, ветки которых ориентированы ввысь.

29. Поверхности 2-го порядка. Конусы Шпоры по вышке - реферат и цилиндры.

Конус.

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и пересекающими данную плоскую линию L(не проходящую через Р) именуется конической поверхностью либо конусом. При всем этом линия Lназывается направляющей конуса, точка Р – ее верхушкой , а ровная, описывающая поверхность, именуется образующей .

- уравнение конуса

Цилиндр.

Поверхность, образованная движением прямой Шпоры по вышке - реферат L, которая перемещается в пространстве, сохраняя неизменное направление и пересекая всякий раз некую кривую К, именуется цилиндром . При всем этом кривая К именуется направляющей цилиндра, а ровная L – образующая .

- уравнение цилиндра

30. Исследование кривой второго порядка по ее уравнению без произведения координат.

Уравнение вида Ax2 +Cy2 +2Dx+2Ey Шпоры по вышке - реферат+F=0 всегда определяет или окружность (при А=С), или эллипс (при А*С>0), или гиперболу (при А*С<0), или параболу (при А*С=0), при всем этом вероятны случаи вырождения: для эллипса (окружности) – в точку либо надуманный эллипс (окружность), для гиперболы – в пару пересекающихся прямых, для параболы – в пару параллельных прямых.

Общее уравнение 2-ой Шпоры по вышке - реферат степени с 2-мя неведомыми: Ax2 +2Bxy+Cy2 +2Dx+2Ey+F=0

Коэффициент В с произведением координат преобразовывает уравнение методом поворота координатных осей.

31. Определение предела числовой функции. Однобокие пределы. Характеристики пределов.

Число А именуется пределом функции y=f(x) в точке х0 , если для хоть какой последовательности допустимых Шпоры по вышке - реферат значений аргумента xn , n€N (xn ≠x0 ), сходящейся к х0

(т.е. ), последовательность соответственных значений функции f(xn ), n€N, сходится к числу А, т.е. . Геометрический смысл предела этой функции, что для всех точек х, довольно близких к точке х0 , надлежащие значения функции как угодно не много отличается от Шпоры по вышке - реферат числа А.

Однобокие пределы.

Считается, что х стремится к х0 хоть каким методом: оставаясь наименьшим, чем х0 (слева от х0 ), огромным, чем х0 (справа от х0 ), либо колеблясь около точки х0 .

Число А1 именуется пределом функции y=f(x) слева в точке х0 , если для хоть какого ε0 такое Шпоры по вышке - реферат, что при х€(x0 -σ;x0 ), производится неравенство |f(x)-A1 |<ε

Пределом функции справа именуется

Характеристики пределов.

1) если предел функция равна этому числу плюс б.м.

ε – сколь угодно маленькое число

|f(x)-a|=α; f(x)=a+ α

2) сумма конечного числа б.м. чисел есть б.м. число

3) предел произведения равен произведению пределов

4) константы можно выносить за символ Шпоры по вышке - реферат предела

5)

32. Примечательные пределы.

1 превосходный предел.

Возьмем круг радиуса 1, обозначим

радианную меру угла MOB через Х.

Пусть 0 < X < π/2. На рисунке |АМ| = sinx, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tgx. Тогда

Разделим все на и получим:

Т.к. , то по признаку существования пределов следует .

2 превосходный предел.

Пусть х→∞. Каждое Шпоры по вышке - реферат значение х заключено меж 2-мя положительными целыми числами:

Если x→∞, то n→∞, тогда

По признаку о существовании пределов:

33. Непрерывные функции и их характеристики. Точка разрыва функций и их систематизация.

Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и в некой округи этой точки. Функция y=f(x) именуется непрерывной в Шпоры по вышке - реферат точке х0 , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

Это значит:

- функция определена в точке х0 и в ее округи;

- функция имеет предел при х→х0

- предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке, т.е. производится равенство.

Это значит Шпоры по вышке - реферат, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к лимиту под знаком функции, другими словами в функции f(x) заместо аргумента х подставить предельное значение х0

Точки разрыва функции – это точки в каких нарушается непрерывность функции.

Точка разрыва х0 именуется точкой разрыва 1 рода функции y Шпоры по вышке - реферат=f(x), если в этой точке есть конечные пределы функции слева и справа (однобокие пределы)

и

При всем этом, если:

- А1 =А2 то точка х0 именуется точкой устранимого разрыва;

- А1 ≠А2 то точка х0 именуется точкой конечного разрыва.

|A1 – A2 | именуется скачком функции.

Точка разрыва х0 именуется точкой Шпоры по вышке - реферат разрыва 2 рода функции y=f(x), если по последней мере один из однобоких пределов (слева либо справа) не существует, или равен бесконечности.

34. Производная от функции. Дифференцируемость функции. Дифференциал.

Производной функции y=f(x) в точке х0 именуется предел дела приращения функции к приращению аргумента, когда аргумент стремится к нулю.

Производная функции f Шпоры по вышке - реферат(x) есть некая функция

f ’(x), произведенная из данной функции.

Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) именуется дифференцируемой в этом интервале.

Операция нахождения производной именуется дифференцированием.

Дифференциал функции y=f(x) в точке х именуется основная часть ее приращения, равная произведению производной Шпоры по вышке - реферат функции на приращение аргумента, и обозначается dy (либо df(x) ).

По другому. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независящей переменной.

35. Правила дифференцирования суммы, произведения, личного функции. Производные сложных функций.

Для нахождения производной сложной функции нужно производную данной функции по промежному аргументу помножить на производную промежного аргумента Шпоры по вышке - реферат по независящему аргументу.

Производная оборотной функции равна оборотной величине производной данной функции.

36. Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическое дифференцирование - в неких случаях целесообразнее функцию поначалу прологарифмировать, а итог продифференцировать.

Но производные степенных функций находят только логарифмическим дифференцированием.

Производная степенно-показательной функции равна сумме производно показательной функции, при условии U = const Шпоры по вышке - реферат , и производной степенной функции, при условии V = const .

37. Аксиомы о среднем. Правило Лопиталя.

Разглядим метод раскрытия неопределенностей 0 / 0 и ∞ / ∞ , который основан на применении производных.

Правило Лопиталя, при 0 / 0.

Пусть функции f ( x ) и φ( x ) непрерывны и дифференцируемы в округи точки x 0 и обращается в нуль в этой точке: .

Пусть φ ′( x ) ≠ 0 в округи точки Шпоры по вышке - реферат x 0

Если существует предел

, то

Применим к функциям f(x) и φ(x) аксиому Коши для отрезка [x0 ;x], лежащего в округи точки x0 , тогда

, где с лежит меж x0 и х.


При x→x0 величина с также стремится к х0 ; перейдем в прошлом равенстве к лимиту:

Потому что Шпоры по вышке - реферат , то .

Потому

(предел дела 2-ух нескончаемо малых равен лимиту дела их производных, если последний существует)

Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.

Пусть функции f ( x ) и φ( x ) непрерывны и дифференцируемы в округи точки x 0 (не считая точки x 0 ), в этой округи

Если существует предел

, то

Неопределенности вида 0∙∞ ; ∞-∞ ; 1∞ ; ∞0 ; 00 сводятся к двум главным.

К примеру, 0∙∞

Пусть Шпоры по вышке - реферат f(x)→0, φ(x)→∞ при х→х0

38. Дифференциалы высших порядков.

Пусть y=f(x) дифференцируема функция, а ее аргумент х – независящая переменная. Тогда дифференциал dy=f ′(x)dx есть также функция х, можно отыскать дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала есть 2-ой дифференциал.

Производную можно рассматривать, как отношение Шпоры по вышке - реферат дифференциала соответственного порядка к соответственной степени дифференциала независящей переменной.

Дифференциал n-ого порядка, есть дифференциал от дифференциала (n-1)-ого порядка, т.е. производную функции можно рассматривать, как отношение ее дифференциала соответственного порядка к соответственной степени дифференциала независящей переменной.

39. Исследование критерий и построение графиков.

- отыскать область определения функции

- отыскать точки скрещения графика с Шпоры по вышке - реферат осями координат

- отыскать интервалы знака всепостоянства

- изучить на четность, нечетность

- отыскать асимптоты графика функции

- отыскать интервалы монотонности функции

- отыскать экстремумы функции

- отыскать интервалы неровности и точки перегиба



shpargalka-po-buhgalterskomu-uchetu-18-shpargalka.html
shpargalka-po-ekonomike-ukr-shpargalka.html
shpargalka-po-geografii-na-ent-2012.html